Associatif vs commutatif
Dans notre vie de tous les jours, nous devons utiliser des chiffres chaque fois que nous avons besoin de mesurer quelque chose. À l'épicerie, à la station-service et même dans la cuisine, nous devons ajouter, soustraire et multiplier deux ou plusieurs quantités. De notre pratique, nous effectuons ces calculs sans effort. Nous ne remarquons ni ne remettons jamais en question pourquoi nous faisons ces opérations de cette manière particulière. Ou pourquoi ces calculs ne peuvent pas être effectués d'une manière différente. La réponse est cachée dans la manière dont ces opérations sont définies dans le domaine mathématique de l'algèbre.
En algèbre, une opération impliquant deux quantités (comme l'addition) est définie comme une opération binaire. Plus précisément, il s'agit d'une opération entre deux éléments d'un ensemble et ces éléments sont appelés «opérande». De nombreuses opérations en mathématiques, y compris les opérations arithmétiques mentionnées précédemment et celles rencontrées dans la théorie des ensembles, l'algèbre linéaire et la logique mathématique peuvent être définies comme des opérations binaires.
Il existe un ensemble de règles régissant une opération binaire spécifique. Les propriétés associatives et commutatives sont deux propriétés fondamentales des opérations binaires.
En savoir plus sur la propriété commutative
Supposons qu'une opération binaire, désignée par le symbole ⊗, soit effectuée sur les éléments A et B. Si l'ordre des opérandes n'affecte pas le résultat de l'opération, alors l'opération est dite commutative. ie si A ⊗ B = B ⊗ A alors l'opération est commutative.
L'addition et la multiplication des opérations arithmétiques sont commutatives. L'ordre des nombres additionnés ou multipliés entre eux n'affecte pas la réponse finale:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Mais dans le cas d'une division, le changement d'ordre donne la réciproque de l'autre, et en soustraction le changement donne le négatif de l'autre. Donc, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 et 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 et 5 ÷ 4 = 1,25 [dans ce cas A, B ≠ 1 et 0]
En fait, la soustraction est dite anti-commutative; où A - B = - (B - A).
En outre, les connecteurs logiques, la conjonction, la disjonction, l'implication et l'équivalence, sont également commutatifs. Les fonctions de vérité sont également commutatives. L'union et l'intersection des opérations d'ensemble sont commutatives. L'addition et le produit scalaire des vecteurs sont également commutatifs.
Mais la soustraction vectorielle et le produit vectoriel ne sont pas commutatifs (le produit vectoriel de deux vecteurs est anti-commutatif). L'addition de matrice est commutative, mais la multiplication et la soustraction ne sont pas commutatives. (La multiplication de deux matrices peut être commutative dans des cas particuliers, comme la multiplication d'une matrice avec son inverse ou la matrice d'identité; mais certainement les matrices ne sont pas commutatives si les matrices ne sont pas de la même taille)
En savoir plus sur la propriété associative
Une opération binaire est dite associative si l'ordre d'exécution n'affecte pas le résultat lorsque deux ou plusieurs occurrences de l'opérateur sont présentes. Considérons les éléments A, B et C et l'opération binaire ⊗. L'opération ⊗ est dite associative si
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
A partir des fonctions arithmétiques de base, seules l'addition et la multiplication sont associatives.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
La soustraction et la division ne sont pas associatives;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 et (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 et (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
La disjonction, la conjonction et l'équivalence des connecteurs logiques sont associatives, tout comme l'union et l'intersection des opérations d'ensemble. L'ajout de matrice et de vecteur est associatif. Le produit scalaire des vecteurs est associatif, mais le produit vectoriel ne l'est pas. La multiplication matricielle n'est associative que dans des circonstances particulières.
Quelle est la différence entre la propriété commutative et associative?
• La propriété associative et la propriété commutative sont toutes deux des propriétés spéciales des opérations binaires, et certaines les satisfont et d'autres non.
• Ces propriétés peuvent être vues dans de nombreuses formes d'opérations algébriques et d'autres opérations binaires en mathématiques, telles que l'intersection et l'union dans la théorie des ensembles ou les connecteurs logiques.
• La différence entre commutative et associative est que la propriété commutative indique que l'ordre des éléments ne change pas le résultat final tandis que la propriété associative indique que l'ordre dans lequel l'opération est effectuée n'affecte pas la réponse finale.
