Fonction discrète vs fonction continue
Les fonctions sont l'une des classes les plus importantes d'objets mathématiques, qui sont largement utilisées dans presque tous les sous-domaines des mathématiques. Comme leur nom l'indique, les fonctions discrètes et les fonctions continues sont deux types spéciaux de fonctions.
Une fonction est une relation entre deux ensembles définie de telle sorte que pour chaque élément du premier ensemble, la valeur qui lui correspond dans le second ensemble est unique. Soit f une fonction définie de l'ensemble A dans l'ensemble B. Alors pour chaque x ϵ A, le symbole f (x) désigne la valeur unique de l'ensemble B qui correspond à x. On l'appelle l'image de x sous f. Par conséquent, une relation f de A dans B est une fonction, si et seulement si pour, chaque xϵ A et y ϵ A; si x = y alors f (x) = f (y). L'ensemble A est appelé le domaine de la fonction f, et c'est l'ensemble dans lequel la fonction est définie.
Par exemple, considérons la relation f de R dans R définie par f (x) = x + 2 pour chaque xϵ A. Il s'agit d'une fonction dont le domaine est R, car pour chaque nombre réel x et y, x = y implique f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Mais la relation g de N dans N définie par g (x) = a, où 'a' est un facteur premier de x n'est pas une fonction comme g (6) = 3, ainsi que g (6) = 2.
Qu'est-ce qu'une fonction discrète?
Une fonction discrète est une fonction dont le domaine est au plus dénombrable. Simplement, cela signifie qu'il est possible de faire une liste qui comprend tous les éléments du domaine.
Tout ensemble fini est au plus dénombrable. L'ensemble des nombres naturels et l'ensemble des nombres rationnels sont des exemples pour la plupart des ensembles infinis dénombrables. L'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres irrationnels ne sont pas au plus dénombrables. Les deux ensembles sont innombrables. Cela signifie qu'il est impossible de faire une liste qui comprend tous les éléments de ces ensembles.
L'une des fonctions discrètes les plus courantes est la fonction factorielle. f: NU {0} → N défini récursivement par f (n) = nf (n-1) pour chaque n ≥ 1 et f (0) = 1 est appelée fonction factorielle. Observez que son domaine NU {0} est au plus dénombrable.
Qu'est-ce qu'une fonction continue?
Soit f une fonction telle que pour chaque k dans le domaine de f, f (x) → f (k) comme x → k. Alors f est une fonction continue. Cela signifie qu'il est possible de rendre f (x) arbitrairement proche de f (k) en rendant x suffisamment proche de k pour chaque k dans le domaine de f.
Considérons la fonction f (x) = x + 2 sur R. On peut voir que comme x → k, x + 2 → k + 2 soit f (x) → f (k). Par conséquent, f est une fonction continue. Maintenant, considérons g sur des nombres réels positifs g (x) = 1 si x> 0 et g (x) = 0 si x = 0. Alors, cette fonction n'est pas une fonction continue car la limite de g (x) n'existe pas (et donc il n'est pas égal à g (0)) car x → 0.
Quelle est la différence entre une fonction discrète et continue?
• Une fonction discrète est une fonction dont le domaine est tout au plus dénombrable mais ce n'est pas nécessairement le cas dans les fonctions continues.
• Toutes les fonctions continues ƒ ont la propriété que ƒ (x) → ƒ (k) comme x → k pour chaque x et pour chaque k dans le domaine de ƒ, mais ce n'est pas le cas dans certaines fonctions discrètes.
