Fonction de distribution de probabilité vs fonction de densité de probabilité
La probabilité est la probabilité qu'un événement se produise. Cette idée est très courante et fréquemment utilisée dans la vie de tous les jours lorsque nous évaluons nos opportunités, nos transactions et bien d'autres choses. Étendre ce concept simple à un plus grand ensemble d'événements est un peu plus difficile. Par exemple, nous ne pouvons pas facilement déterminer les chances de gagner à une loterie, mais il est pratique, plutôt intuitif, de dire qu'il y a une probabilité qu'un sur six nous obtienne le numéro six dans un dé lancé.
Lorsque le nombre d'événements qui peuvent avoir lieu augmente, ou que le nombre de possibilités individuelles est grand, cette idée assez simple de probabilité échoue. Par conséquent, il faut lui donner une définition mathématique solide avant d'aborder des problèmes plus complexes.
Lorsque le nombre d'événements pouvant avoir lieu dans une même situation est important, il est impossible de considérer chaque événement individuellement comme dans l'exemple des dés lancés. Par conséquent, l'ensemble des événements est résumé en introduisant le concept de variable aléatoire. Il s'agit d'une variable, qui peut prendre les valeurs de différents événements dans cette situation particulière (ou l'espace d'échantillonnage). Cela donne un sens mathématique aux événements simples de la situation et une manière mathématique d'aborder l'événement. Plus précisément, une variable aléatoire est une fonction de valeur réelle sur les éléments de l'espace échantillon. Les variables aléatoires peuvent être discrètes ou continues. Ils sont généralement indiqués par les lettres majuscules de l'alphabet anglais.
La fonction de distribution de probabilité (ou simplement la distribution de probabilité) est une fonction qui attribue les valeurs de probabilité à chaque événement; c'est-à-dire qu'il fournit une relation aux probabilités pour les valeurs que la variable aléatoire peut prendre. La fonction de distribution de probabilité est définie pour les variables aléatoires discrètes.
La fonction de densité de probabilité est l'équivalent de la fonction de distribution de probabilité pour les variables aléatoires continues, donne la probabilité qu'une certaine variable aléatoire assume une certaine valeur.
Si X est une variable aléatoire discrète, la fonction donnée comme f (x) = P (X = x) pour chaque x dans la plage de X est appelée la fonction de distribution de probabilité. Une fonction peut servir de fonction de distribution de probabilité si et seulement si la fonction satisfait aux conditions suivantes.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Une fonction f (x) définie sur l'ensemble des nombres réels est appelée fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire continue X, si et seulement si, P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx pour toutes les constantes réelles a et b.
La fonction de densité de probabilité doit également satisfaire aux conditions suivantes.
1. f (x) ≥ 0 pour tout x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
La fonction de distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité sont utilisées pour représenter la distribution des probabilités sur l'espace d'échantillonnage. On les appelle communément des distributions de probabilité.
Pour la modélisation statistique, des fonctions de densité de probabilité standard et des fonctions de distribution de probabilité sont dérivées. La distribution normale et la distribution normale standard sont des exemples de distributions de probabilités continues. La distribution binomiale et la distribution de Poisson sont des exemples de distributions de probabilités discrètes.
Quelle est la différence entre la distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité?
• La fonction de distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité sont des fonctions définies sur l'espace d'échantillonnage, pour attribuer la valeur de probabilité appropriée à chaque élément.
• Les fonctions de distribution de probabilité sont définies pour les variables aléatoires discrètes tandis que les fonctions de densité de probabilité sont définies pour les variables aléatoires continues.
• La distribution des valeurs de probabilité (c'est-à-dire les distributions de probabilité) est mieux représentée par la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution de probabilité.
• La fonction de distribution de probabilité peut être représentée sous forme de valeurs dans un tableau, mais cela n'est pas possible pour la fonction de densité de probabilité car la variable est continue.
• Lorsqu'elle est tracée, la fonction de distribution de probabilité donne un diagramme à barres tandis que la fonction de densité de probabilité donne une courbe.
• La hauteur / longueur des barres de la fonction de distribution de probabilité doit s'additionner à 1 tandis que l'aire sous la courbe de la fonction de densité de probabilité doit s'additionner à 1.
• Dans les deux cas, toutes les valeurs de la fonction doivent être non négatives.
