Événements mutuellement exclusifs vs indépendants
Les gens confondent souvent le concept d'événements mutuellement exclusifs avec des événements indépendants. En fait, ce sont deux choses différentes.
Soit A et B deux événements quelconques associés à une expérience aléatoire E. P (A) est appelé la «probabilité de A». De même, nous pouvons définir la probabilité de B comme P (B), la probabilité de A ou B comme P (A∪B) et la probabilité de A et B comme P (A∩B). Alors, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Cependant, deux événements sont dits s'excluant mutuellement si l'occurrence d'un événement n'affecte pas l'autre. En d'autres termes, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par conséquent, si deux événements A et B sont mutuellement exclusifs alors A∩B = ∅ et donc, cela implique P (A∪B) = P (A) + P (B).
Soit A et B deux événements dans un espace d'échantillonnage S. La probabilité conditionnelle de A, étant donné que B s'est produit, est notée P (A | B) et est définie comme; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), à condition que P (B)> 0. (sinon, il n'est pas défini.)
Un événement A est dit indépendant d'un événement B, si la probabilité que A se produise n'est pas influencée par le fait que B s'est produit ou non. En d'autres termes, l'issue de l'événement B n'a aucun effet sur l'issue de l'événement A. Par conséquent, P (A | B) = P (A). De même, B est indépendant de A si P (B) = P (B | A). Par conséquent, nous pouvons conclure que si A et B sont des événements indépendants, alors P (A∩B) = P (A). P (B)
Supposons qu'un cube numéroté soit lancé et qu'une pièce équitable soit retournée. Soit A l'événement qui obtient une tête et B l'événement qui obtient un nombre pair. Ensuite, nous pouvons conclure que les événements A et B sont indépendants, car ce résultat de l'un n'affecte pas le résultat de l'autre. Par conséquent, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Puisque P (A∩B) ≠ 0, A et B ne peuvent pas être mutuellement exclusifs.
Supposons qu'une urne contienne 7 billes blanches et 8 billes noires. Définissez l'événement A comme le dessin d'un marbre blanc et l'événement B comme le dessin d'un marbre noir. En supposant que chaque bille sera remplacée après avoir noté sa couleur, alors P (A) et P (B) seront toujours les mêmes, quel que soit le nombre de fois que nous tirons de l'urne. Le remplacement des billes signifie que les probabilités ne changent pas d'un tirage à l'autre, quelle que soit la couleur choisie lors du dernier tirage. Par conséquent, les événements A et B sont indépendants.
Cependant, si les billes ont été dessinées sans remplacement, tout change. Dans cette hypothèse, les événements A et B ne sont pas indépendants. Dessiner une bille blanche la première fois change les probabilités de dessiner une bille noire lors du deuxième tirage et ainsi de suite. En d'autres termes, chaque tirage a un effet sur le tirage suivant, et donc les tirages individuels ne sont pas indépendants.
Différence entre les événements mutuellement exclusifs et indépendants
- L'exclusivité mutuelle des événements signifie qu'il n'y a pas de chevauchement entre les ensembles A et B. L'indépendance des événements signifie que la survenue de A n'affecte pas la survenance de B.
- Si deux événements A et B s'excluent mutuellement, alors P (A∩B) = 0.
- Si deux événements A et B indépendants, alors P (A∩B) = P (A). P (B)
