Série Power vs Série Taylor
En mathématiques, une séquence réelle est une liste ordonnée de nombres réels. Formellement, c'est une fonction allant de l'ensemble des nombres naturels à l'ensemble des nombres réels. Si a n est le n ème terme d'une suite, on désigne la suite par ou par a 1, a 2,…, a n, …. Par exemple, considérons la suite 1, ½, ⅓,…, 1 / n, …. Il peut être noté {1 / n}.
Il est possible de définir une série à l'aide de séquences. Une série est la somme des termes d'une séquence. Par conséquent, pour chaque séquence, il y a une séquence associée et vice-versa. Si {a n} est la séquence considérée, alors, la série formée par cette séquence peut être représentée par:
Ainsi, dans l'exemple ci - dessus, la série est associée 1+ 1 / 2 + 1 / trois + … + 1 / n + ….
Comme son nom l'indique, la série de puissance est un type spécial de série et elle est largement utilisée dans l'analyse numérique et la modélisation mathématique associée. La série Taylor est une série de puissance spéciale qui offre une manière alternative et facile à manipuler de représenter des fonctions bien connues.
Qu'est-ce que la série Power?
Une série de puissance est une série de la forme
qui est convergente (éventuellement) pour un intervalle centré en c. Les coefficients a n peuvent être des nombres réels ou complexes et sont indépendants de x; c'est-à-dire la variable factice.
Par exemple, en définissant a n = 1 pour chaque n et c = 0, la série de puissance 1 + x + x 2 +….. + x n +… est obtenue. Il est facile d'observer que lorsque x ε (-1,1), cette série de puissances converge vers 1 / (1-x).
Une série de puissance converge lorsque x = c. Les autres valeurs de x pour lesquelles converge la série de puissances prendront toujours la forme d'un intervalle ouvert centré en c. Autrement dit, il y aura une valeur 0≤ R ≤ ∞ telle que pour chaque x satisfaisant | xc | ≤ R, la série de puissance est convergente et pour chaque x satisfaisant | xc |> R, la série de puissance est divergente. Cette valeur R est appelée rayon de convergence de la série de puissance (R peut prendre n'importe quelle valeur réelle ou infinie positive).
Les séries de puissance peuvent être ajoutées, soustraites, multipliées et divisées en utilisant les règles suivantes. Considérez les deux séries de puissance:
Puis,
c'est-à-dire que des termes similaires sont ajoutés ou soustraits ensemble. De plus, il est possible de multiplier et de diviser les deux séries de puissance en utilisant l'identité,
Qu'est-ce que la série Taylor?
La série de Taylor est définie pour une fonction f (x) qui est infiniment dérivable sur un intervalle. Supposons que f (x) soit différentiable sur un intervalle centré en c. Puis la série de puissance qui est donnée par
est appelé le développement en série de Taylor de la fonction f (x) autour de c. (Ici f (n) (c) désigne la n ième dérivée à x = c). Dans l'analyse numérique, un nombre fini de termes dans cette expansion infinie est utilisé pour calculer les valeurs aux points où la série est convergente vers la fonction d'origine.
Une fonction f (x) est dite analytique dans l'intervalle (a, b), si pour chaque x ε (a, b), la série de Taylor de f (x) converge vers la fonction f (x). Par exemple, 1 / (1-x) est analytique sur (-1,1), puisque son expansion de Taylor 1 + x + x 2 +….. + x n +… converge vers la fonction sur cet intervalle, et e x est analytique partout, puisque la série de Taylor de e x converge vers e x pour chaque nombre réel x.
Quelle est la différence entre la série Power et la série Taylor?
1. La série de Taylor est une classe spéciale de séries de puissance définie uniquement pour les fonctions qui sont infiniment différentiables sur un intervalle ouvert.
2. La série Taylor prend la forme spéciale
alors qu'une série de puissance peut être n'importe quelle série de la forme
