Sous-ensembles vs sous-ensembles appropriés
Il est tout à fait naturel de réaliser le monde en catégorisant les choses en groupes. C'est la base du concept mathématique appelé «Théorie des ensembles». La théorie des ensembles a été développée à la fin du XIXe siècle et est aujourd'hui omniprésente en mathématiques. Presque toutes les mathématiques peuvent être dérivées en utilisant la théorie des ensembles comme base. L'application de la théorie des ensembles va des mathématiques abstraites à tous les sujets du monde physique tangible.
Le sous-ensemble et le sous-ensemble approprié sont deux terminologies souvent utilisées dans la théorie des ensembles pour introduire des relations entre les ensembles.
Si chaque élément d'un ensemble A est également membre d'un ensemble B, alors l'ensemble A est appelé un sous-ensemble de B. Cela peut également être lu comme «A est contenu dans B». Plus formellement, A est un sous-ensemble de B, noté A⊆B si, x∈A implique x∈B.
Tout ensemble lui-même est un sous-ensemble du même ensemble, car, évidemment, tout élément qui est dans un ensemble sera également dans le même ensemble. Nous disons «A est un sous-ensemble propre de B» si, A est un sous-ensemble de B mais, A n'est pas égal à B. Pour indiquer que A est un sous-ensemble propre de B, nous utilisons la notation A⊂B. Par exemple, l'ensemble {1,2} a 4 sous-ensembles, mais seulement 3 sous-ensembles appropriés. Parce que {1,2} est un sous-ensemble mais pas un sous-ensemble propre de {1,2}.
Si un ensemble est un sous-ensemble propre d'un autre ensemble, il est toujours un sous-ensemble de cet ensemble (c'est-à-dire que si A est un sous-ensemble propre de B, cela implique que A est un sous-ensemble de B). Mais il peut y avoir des sous-ensembles, qui ne sont pas des sous-ensembles appropriés de leur sur-ensemble. Si deux ensembles sont égaux, alors ils sont des sous-ensembles l'un de l'autre, mais pas un sous-ensemble approprié l'un de l'autre.
En bref:
- Si A est un sous-ensemble de B alors A et B peuvent être égaux.
- Si A est un sous-ensemble propre de B, alors A ne peut pas être égal à B.
