Riemann Integral contre Lebesgue Integral
L'intégration est un sujet principal du calcul. Dans un sens plus simple, l'intégration peut être vue comme le processus inverse de différenciation. Lors de la modélisation de problèmes du monde réel, il est facile d'écrire des expressions impliquant des dérivés. Dans une telle situation, l'opération d'intégration est nécessaire pour trouver la fonction, qui a donné le dérivé particulier.
Sous un autre angle, l'intégration est un processus qui résume le produit d'une fonction ƒ (x) et δx, où δx tend à être une certaine limite. C'est pourquoi, nous utilisons le symbole d'intégration comme ∫. Le symbole ∫ est en fait ce que l'on obtient en étirant la lettre s pour se référer à somme.
Riemann Integral
Considérons une fonction y = ƒ (x). L'intégrale de y entre a et b, où a et b appartiennent à un ensemble x, s'écrit b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). C'est ce qu'on appelle une intégrale définie de la fonction simple valuée et continue y = ƒ (x) entre a et b. Cela donne l'aire sous la courbe entre a et b. Ceci est également appelé intégrale de Riemann. L'intégrale de Riemann a été créée par Bernhard Riemann. L'intégrale de Riemann d'une fonction continue est basée sur la mesure de Jordan, par conséquent, elle est également définie comme la limite des sommes de Riemann de la fonction. Pour une fonction valuée réelle définie sur un intervalle fermé, l'intégrale de Riemann de la fonction par rapport à une partition x 1, x 2,…, x ndéfini sur l'intervalle [a, b] et t 1, t 2,…, t n, où x i ≤ t i ≤ x i + 1 pour chaque i ε {1, 2,…, n}, la somme de Riemann est définie comme Σ i = o à n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue est un autre type d'intégrale, qui couvre une grande variété de cas que l'intégrale de Riemann. L'intégrale de lebesgue a été introduite par Henri Lebesgue en 1902. L'intégration de Legesgue peut être considérée comme une généralisation de l'intégration de Riemann.
Pourquoi avons-nous besoin d'étudier une autre intégrale?
Considérons la fonction caractéristique ƒ A (x) = { 0 si, x pas ε A 1 si, x ε A sur un ensemble A. Alors combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques, qui est définie comme F (x) = Σ a i ƒ E i (x) est appelée fonction simple si E i est mesurable pour chaque i. L'intégrale de Lebesgue de F (x) sur E est notée E ∫ ƒ (x) dx. La fonction F (x) n'est pas intégrable de Riemann. L'intégrale de Lebesgue est donc la reformulation de l'intégrale de Riemann, qui a quelques restrictions sur les fonctions à intégrer.
Quelle est la différence entre Riemann Integral et Lebesgue Integral?
· L'intégrale de Lebesgue est une forme de généralisation de l'intégrale de Riemann.
· L'intégrale de Lebesgue permet une infinité dénombrable de discontinuités, tandis que l'intégrale de Riemann autorise un nombre fini de discontinuités.
