Dérivé vs différentiel
Dans le calcul différentiel, la dérivée et la différentielle d'une fonction sont étroitement liées mais ont des significations très différentes et sont utilisées pour représenter deux objets mathématiques importants liés à des fonctions différentiables.
Qu'est-ce qu'un dérivé?
La dérivée d'une fonction mesure la vitesse à laquelle la valeur de la fonction change lorsque son entrée change. Dans les fonctions multi-variables, le changement de la valeur de la fonction dépend du sens du changement des valeurs des variables indépendantes. Par conséquent, dans de tels cas, une direction spécifique est choisie et la fonction est différenciée dans cette direction particulière. Ce dérivé s'appelle le dérivé directionnel. Les dérivées partielles sont un type particulier de dérivées directionnelles.
La dérivée d'une fonction vectorielle f peut être définie comme la limite
partout où elle existe de manière finie. Comme mentionné précédemment, cela nous donne le taux d'augmentation de la fonction f selon la direction du vecteur u. Dans le cas d'une fonction à valeur unique, cela se réduit à la définition bien connue de la dérivée,
Par exemple,
est partout différentiable, et la dérivée est égale à la limite
qui est égale à
. Les dérivés de fonctions telles que
existent partout. Ils sont respectivement égaux aux fonctions
Ceci est connu comme le premier dérivé. Habituellement, la première dérivée de la fonction f est notée f (1). Maintenant, en utilisant cette notation, il est possible de définir des dérivées d'ordre supérieur.
est la dérivée directionnelle du second ordre, et désignant la n ième dérivée par f (n) pour chaque n
,, définit la n ième dérivée.
Qu'est-ce que le différentiel?
Le différentiel d'une fonction représente le changement de la fonction par rapport aux changements de la ou des variables indépendantes. Dans la notation usuelle, pour une fonction donnée f d'une seule variable x, la différentielle totale d'ordre 1 df est donnée par,
. Cela signifie que pour un changement infinitésimal de x (ie dx), il y aura un changement de af (1) (x) dx dans f.
En utilisant des limites, on peut se retrouver avec cette définition comme suit. Supposons que ∆ x est le changement de x en un point arbitraire x et ∆ f est le changement correspondant de la fonction f. On peut montrer que ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, où ϵ est l'erreur. Maintenant, la limite ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (en utilisant la définition précédemment énoncée de dérivée) et donc, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Par conséquent, il est possible de concluent que, ∆ x → 0 ϵ = 0. Maintenant, en notant ∆ x → 0 ∆ f comme df et ∆ x → 0 ∆ x comme dx la définition du différentiel est rigoureusement obtenue.
Par exemple, le différentiel de la fonction
est
Dans le cas de fonctions de deux ou plusieurs variables, le différentiel total d'une fonction est défini comme la somme des différentiels dans les directions de chacune des variables indépendantes. Mathématiquement, il peut être énoncé comme
Quelle est la différence entre dérivé et différentiel?
• La dérivée fait référence à un taux de changement d'une fonction alors que le différentiel se réfère au changement réel de la fonction, lorsque la variable indépendante est soumise à un changement.
• La dérivée est donnée par
mais la différence est donnée par
