Cardinal vs Ordinal
Dans notre vie de tous les jours, l'utilisation des nombres peut prendre différentes formes dans différentes situations. Par exemple, lorsque nous comptons pour déterminer la taille d'une collection d'objets, nous les comptons comme un, deux, trois, etc. Lorsque nous voulons compter quelque chose pour avoir une idée de la position des objets, nous les comptons comme premier, deuxième, troisième, etc. Dans la première forme de comptage, on dit que les nombres sont des nombres cardinaux. Dans la seconde forme de comptage, les nombres sont considérés comme des nombres ordinaux. Dans ce contexte, les concepts cardinal et ordinal relèvent entièrement de la linguistique; cardinal et ordinal sont des adjectifs.
Cependant, l'extension du concept aux ensembles en mathématiques révèle une perspective beaucoup plus profonde et plus large et ne peut être traitée en termes simples. Dans cet article, nous essaierons de comprendre les concepts fondamentaux des nombres cardinaux et ordinaux en mathématiques.
Les définitions formelles des nombres cardinaux et ordinaux sont fournies dans la théorie des ensembles. Les définitions sont complexes et pour les comprendre parfaitement, il faut des connaissances de base en théorie des ensembles. Par conséquent, nous nous tournerons vers quelques exemples, pour comprendre les concepts de manière heuristique.
Considérons les deux ensembles {1,3,6,4,5,2} et {bus, voiture, ferry, train, avion, hélicoptère}. Chaque ensemble liste un ensemble d'éléments, et si nous comptons le nombre d'éléments, il est évident que chacun a le même nombre d'éléments, qui est de 6. Arrivant à cette conclusion, nous avons pris la taille d'un ensemble et comparé à un autre en utilisant un nombre. Un tel nombre est appelé un nombre cardinal. Par conséquent, nous pouvons dire qu'un nombre cardinal est un nombre que nous pouvons utiliser pour comparer la taille des ensembles finis.
Là encore, le premier ensemble de nombres peut être arrangé par ordre croissant en considérant la taille de chaque élément et en les comparant. Dans le processus de commande, les numéros sont considérés comme des cardinaux. De même, l'ensemble de tous les entiers non négatifs peut être ordonné dans un ensemble; c'est-à-dire {0,1,2,3,4,…..}. Mais dans ce cas, la taille de l'ensemble devient infinie, et le donner en termes d'ordinaux n'est pas possible. Quelle que soit la taille du nombre que vous choisissez pour donner la taille de l'ensemble, il y aura toujours des nombres laissés en dehors de l'ensemble que vous choisissez et qui sont des entiers non négatifs.
Par conséquent, les mathématiciens définissent ce cardinal infini (qui est le premier) comme Aleph-0, écrit comme א (première lettre de l'alphabet hébreu). Formellement, le nombre ordinal est le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné. Par conséquent, le nombre ordinal des ensembles finis peut être donné par des nombres cardinaux, mais pour les ensembles infinis, l'ordinal est donné par des nombres transfinis tels que Aleph-0.
Quelle est la différence entre les nombres cardinaux et ordinaux?
• Le nombre cardinal est un nombre qui peut être utilisé pour compter ou pour donner la taille d'un ensemble ordonné fini. Tous les nombres cardinaux sont des ordinaux.
• Les nombres ordinaux sont des nombres utilisés pour donner la taille des ensembles ordonnés finis et infinis. La taille des ensembles ordonnés finis est donnée par des chiffres algébriques hindous-arabes habituels, et la taille infinie de l'ensemble est donnée par des nombres transfinis.
