Nombres réels vs nombres imaginaires
Les nombres sont des objets mathématiques utilisés pour compter et mesurer. La définition de celui-ci a changé au fil des ans avec l'ajout de zéro, de nombres négatifs, de nombres rationnels, de nombres irrationnels et de nombres imaginaires. Même si le fondement abstrait des systèmes de nombres concerne des structures algébriques telles que les groupes, les anneaux et les champs, seule une idée intuitive est présentée ici.
Qu'est-ce qu'un nombre réel?
Définissant de manière informelle, un nombre réel est un nombre dont le carré n'est pas négatif. En notation mathématique, nous désignons l'ensemble des nombres réels par le symbole R. Donc pour tout x, si x ϵ R alors x 2 ≥ 0. De manière plus rigoureuse, on peut introduire l'ensemble des nombres réels comme le champ totalement ordonné unique et complet avec l'opération binaire + et. avec la relation d'ordre <. Cette relation d'ordre suit la loi de la trichotomie, qui stipule que, étant donné deux nombres réels x et y, un et un seul de ces 3 est vrai; x> y, x <y ou x = y.
Un nombre réel peut être algébrique ou transcendantal selon qu'il s'agit d'une racine d'une équation polynomiale à coefficients entiers ou non. De plus, un nombre réel peut être rationnel ou irrationnel selon qu'il peut être exprimé sous la forme d'un rapport de deux entiers ou non. Par exemple, 2,5 est un nombre réel, qui est algébrique et rationnel, mais ᴫ est irrationnel aussi bien que transcendantal.
L'ensemble des nombres réels est complet. Cela signifie que pour chaque sous-ensemble non vide de nombres réels qui est borné au-dessus, a une borne inférieure la plus élevée, et de cela, on peut en déduire que pour chaque sous-ensemble non vide de nombres réels qui est borné ci-dessous, a la plus grande borne inférieure. Cela distingue l'ensemble des nombres réels de l'ensemble des nombres rationnels. On peut soutenir que l'ensemble des nombres réels est construit en comblant les lacunes d'un ensemble de nombres rationnels incomplets, les lacunes étant des nombres irrationnels.
Qu'est-ce qu'un nombre imaginaire?
Un nombre imaginaire est un nombre dont le carré est négatif. En d'autres termes, les nombres comme √ (-1), √ (-100) et √ (- e) sont des nombres imaginaires. Tous les nombres imaginaires peuvent être écrits sous la forme ai où i est «l'unité imaginaire» √ (-1) et a est un nombre réel non nul. (Observez que i 2 = -1). Bien que ces chiffres semblent non réels et, comme leur nom l'indique, inexistants, ils sont utilisés dans de nombreuses applications essentielles du monde réel, dans des domaines tels que l'aviation, l'électronique et l'ingénierie.
Quelle est la différence entre les nombres réels et les nombres imaginaires?
• Le carré d'un nombre réel est non négatif, mais le carré d'un nombre imaginaire est négatif.
• L'ensemble des nombres réels forme un champ totalement ordonné alors que l'ensemble des nombres imaginaires n'est ni complet ni ordonné.
