Série de Fourier vs transformée de Fourier
La série de Fourier décompose une fonction périodique en une somme de sinus et de cosinus de différentes fréquences et amplitudes. La série de Fourier est une branche de l'analyse de Fourier et elle a été introduite par Joseph Fourier. La transformée de Fourier est une opération mathématique qui divise un signal en ses fréquences constitutives. Le signal original qui a changé au fil du temps est appelé la représentation du domaine temporel du signal. La transformée de Fourier est appelée représentation du domaine fréquentiel d'un signal car elle dépend de la fréquence. La représentation du domaine fréquentiel d'un signal et le processus utilisé pour transformer ce signal dans le domaine fréquentiel sont appelés transformée de Fourier.
Qu'est-ce que la série Fourier?
Comme mentionné précédemment, la série de Fourier est une expansion d'une fonction périodique utilisant une somme infinie de sinus et de cosinus. La série de Fourier a été initialement développée lors de la résolution d'équations de chaleur, mais plus tard, il a été découvert que la même technique peut être utilisée pour résoudre un grand ensemble de problèmes mathématiques, en particulier les problèmes qui impliquent des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Désormais, la série Fourier a des applications dans un grand nombre de domaines tels que l'électrotechnique, l'analyse des vibrations, l'acoustique, l'optique, le traitement du signal, le traitement d'image, la mécanique quantique et l'économétrie. Les séries de Fourier utilisent les relations d'orthogonalité des fonctions sinus et cosinus. Le calcul et l'étude des séries de Fourier sont connus sous le nom d'analyse harmonique et sont très utiles lorsque l'on travaille avec des fonctions périodiques arbitraires,car il permet de décomposer la fonction en termes simples qui peuvent être utilisés pour obtenir une solution au problème d'origine.
Qu'est-ce que la transformée de Fourier?
La transformée de Fourier définit une relation entre un signal dans le domaine temporel et sa représentation dans le domaine fréquentiel. La transformée de Fourier décompose une fonction en fonctions oscillatoires. Puisqu'il s'agit d'une transformation, le signal d'origine peut être obtenu en connaissant la transformation, ainsi aucune information n'est créée ou perdue dans le processus. L'étude des séries de Fourier fournit en fait une motivation pour la transformée de Fourier. En raison des propriétés des sinus et des cosinus, il est possible de récupérer la quantité de chaque onde contribue à la somme en utilisant une intégrale. La transformée de Fourier a certaines propriétés de base telles que la linéarité, la translation, la modulation, la mise à l'échelle, la conjugaison, la dualité et la convolution. La transformée de Fourier est appliquée à la résolution d'équations différentielles puisque la transformée de Fourier est étroitement liée à la transformation de Laplace. La transformée de Fourier est également utilisée en résonance magnétique nucléaire (RMN) et dans d'autres types de spectroscopie.
Différence entre la série de Fourier et la transformée de Fourier
La série de Fourier est une expansion du signal périodique sous la forme d'une combinaison linéaire de sinus et de cosinus, tandis que la transformée de Fourier est le processus ou la fonction utilisée pour convertir les signaux du domaine temporel en domaine fréquentiel. La série de Fourier est définie pour les signaux périodiques et la transformée de Fourier peut être appliquée aux signaux apériodiques (se produisant sans périodicité). Comme mentionné ci-dessus, l'étude des séries de Fourier fournit en fait une motivation pour la transformée de Fourier.
